نگاهی اجمالی بر مکانیک کلاسیک(تحلیلی)

[m f s 1,727]

در این تاپیک اشاره شده به کل مکانیک کلاسیک....

 

مکانيک کلاسيک يکي از قديميترين و آشناترين شاخه هاي فيزيک است. اين شاخه با اجسام در حال سکون و حرکت ، و شرايط سکون و حرکت آنها تحت تاثير نيروهاي داخلي و خارجي ، سرو کار دارد. قوانين مکانيک به تمام گستره اجسام ، اعم از ميکروسکوپي يا ماکروسکوپي، از قبيل الکترونها در اتمها و سيارات در فضا يا حتي به کهکشانها در بخش هاي دور دست جهان اعمال مي شود.

 

● سينماتيک حرکت:

 

سينماتيک به توصيف هندسي محض حرکت ( يا مسيرهاي) اجسام ، بدون توجه به نيروهايي که اين حرکت را ايجاد کرده اند ، مي پردازد. در اين بررسي عاملين حرکت (نيروهاي وارد بر جسم) مد نظر نيست و با مفاهيم مکان ، سرعت ، شتاب ، زمان و روابط بين آنها سروکار دارد. در اين علم ابتدا اجسام را بصورت ذره نقطه اي بررسي نموده و سپس با مطالعه حرکت جسم صلب حرکت واقعي اجسام دنبال مي شود.

 

حرکت اجسام به دو صورت مورد بررسي است:

 

۱) سينماتيک انتقالي:

 

در اين نوع حرکت پارامترهاي سيستم به صورت خطي هستند و مختصات فضايي سيستم ها فقط انتقال مي يابد. از اينرو حرکت انتقالي مجموعه مورد بررسي قرار مي گيرد. کميت مورد بحث در سينماتيک انتقالي شامل جابه جايي ، سرعت خطي ، شتاب خطي ، اندازه حرکت خطي و...مي باشد.

 

۲) سينماتيک دوراني:

 

در اين نوع حرکت برخلاف حرکت انتقالي پارامتر اصلي حرکت تغيير زاويه مي باشد. به عبارتي از تغيير جهت حرکت ، سرعت و شتاب زاويه اي حاصل مي شود. و مختصات فضايي سيستم ها فقط دوران مي يابند. جابه جايي زاويه اي ، سرعت زاويه اي ، شتاب زاويه اي و اندازه حرکت زاويه اي از جمله کميات مورد بحث در اين حرکت مي باشند.

 

● ديناميک حرکت :

 

ديناميک به نيروهايي که موجب تغيير حرکت يا خواص ديگر ، از قبيل شکل و اندازه اجسام مي شوند مي پردازد. اين بخش ما را با مفاهيم نيرو و جرم و قوانين حاکم بر حرکت اجسام هدايت مي کند. يک مورد خاص در ديناميک ايستاشناسي است که با اجسامي که تحت تاثير نيروهاي خارجي در حال سکون هستند سروکار دارد.

 

● پايه گذاران مکانيک کلاسيک:

 

با اين که شروع مکانيک از کميت سرچشمه مي گيرد ، در زمان ارسطو فرايند فکري مربوط به آن گسترش سريعي پيدا کرد. اما از قرن هفدهم به بعد بود که مکانيک توسط گاليله ، هويگنس و اسحاق نيوتن بدرستي پايه گذاري شد. آنها نشان دادند که اجسام طبق قواعدي حرکت مي کنند ، و اين قواعد به شکل قوانين حرکت بيان شدند. مکانيک کلاسيک يا نيوتني عمدتا با مطالعه پيامدهاي قوانين حرکت سروکار دارد.

 

قوانين سه گانه اسحاق نيوتن راه مستقيم و سادهاي به موضوع مکانيک کلاسيک مي گشايد.اين قوانين عبارتند از:

 

۱) قانون اول نيوتن:

 

هر جسمي به حالت سکون يا حرکت يکنواخت خود در روي يک خط مستقيم ادامه مي دهد مگر اينکه يک نيروي خارجي خالص به آن داده شود و آن حالت را تغيير دهد.

 

۲) قانون دوم نيوتن:

 

آهنگ تغيير تکانه خطي يک جسم با برآيند نيروهاي وارد بر آن متناسب بوده و در جهت آن قرار دارد.

 

۳) قانون سوم نيوتن:

 

اين قانون که به قانون عمل و عکس العمل معروف است ، اينگونه بيان مي شود. هر عملي را عکس العملي است ، مساوي با آن و در خلاف جهت آن.

 

● فرمولبندي لاگرانژي مکانيک کلاسيک:

 

در برسي حرکت اجسام به کمک قوانين نيوتون اجسام به صورت ذره اي در نظر گرفته مي شود. بنابراين ، بررسي حرکات سيستم هاي چند ذره اي ، اجسام صلب ، دستگاه هاي با جرم متغير ، حرکات جفت شده و ... به کمک قوانين اسحاق نيوتن به سختي صورت مي گيرد. لاگرانژ و هاميلتون دو روش مستقلي را براي حل اين مشکل پيشنهاد کردند. در اين روشها براي هر سيستم يک لاگرانژين (هاميلتونين) تعريف کرده ، سپس به کمک معادلات اويلر-لاگرانژ (هاميلتون-ژاکوپي) حرکات محتمل سيستمها مورد بررسي قرار مي گيرد.

 

● موارد شکست فرمولبندي اسحاق نيوتن :

 

تا آغاز قرن حاضر . قوانين اسحاق نيوتن بر تمام وضعيتهاي شناخته شده کاملا قابل اعمال بودند. مشکل هنگامي بروز کرد که اين فرمولبندي به چند وضعيت معين زير اعمال شدند:

 

▪ اجسام بسيار سريع:

 

ـ اجسامي که با سرعت نزديک به سرعت نور حرکت مي کنند.

 

ـ اجسام با ابعاد ميکروسکوپي مانند الکترونها در اتم ها.

 

ـ شکست مکانيک کلاسيک در اين وضعيتها ، نتيجه نارسايي مفاهيم کلاسيکي فضا و زمان است.

 

● مکمل مکانيک کلاسيک:

 

مشکلات موجود در سر راه مکانيک کلاسيک منجر به پيدايش دو نظريه زير شد:

 

▪ فرمولبندي نظريه نسبيت خاص براي اجسام متحرک با سرعت زياد

 

▪ فرمولبندي مکانيک کوانتومي براي اجسام با ابعاد ميکروسکوپي

 

▪ مکانيک لاگرانژي

 

● اطلاعات اوليه

 

کاربرد مستقيم قوانين حرکت نيوتن براي حرکت سيستم هاي ساده راحت و آسان است. اما در صورتي که تعداد ذرات سيستم بيشتر شود، در اين صورت استفاده از قوانين نيوتن کار دشواري خواهد بود. در اين حالت از يک روش عمومي ، پيچيده و بسيار دقيق که به همت رياضيدان فرانسوي ژوزف لويي لاگرانژ ابداع شده است، استفاده مي شود. به اين ترتيب مي توان معادلات حرکت براي تمام سيستمهاي ديناميکي را پيدا کرد. اين روش چون نسبت به معادلات نيوتن حالت کلي تري دارد، لذا در مورد حالتهاي ساده که با معادلات حرکت نيوتن به راحتي حل مي شود، نيز قابل اعمال است.

 

● مختصات تعميم يافته

 

موقعيت يک ذره در فضا را مي توان با سه سيستم مختصات مشخص کرد. اين سيستمها عبارتند از سيستمهاي کارتزين ، کروي و استوانه اي ، يا در حقيقت هر سه پارامتر مناسب ديگري که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در يک صفحه يا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه براي مشخص کردن موقغيت ذره نياز است، در حاليکه اگر ذره روي يک خط مستقيم يا يک منحني ثابت حرکت کند، ذکر يک مختصه کافي خواهد بود. اما در مورد يک سيستم متشکل از N ذره ، براي تشخيص کامل موقعيت همزمان تمام ذرات به ۳N مختصه نياز خواهيم داشت.

 

اگر محدوديتهاي بر سيستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم براي مشخص کردن پيکربندي کمتر از ۳N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سيستم مورد نظر يک جسم صلب باشد، براي مشخص کردن پيکربندي آن فقط به موقعيت مکاني يک نقطه مرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت يابي آن نقطه در فضا احتياج داريم. بنابراين در حالت کلي براي مشخص کردن پيکربندي يک سيستم خاص ، احتياج به تعداد حداقل معين n مختصه نياز است. اين مختصات را مختصات تعميم يافته مي گويند.

 

● نيروي تعميم يافته

 

در سيستم مختصات تعميم يافته ، به جاي نيروهايي که در مکانيک کلاسيک نيوتني معمول است، مرتبط با هر مختصه نيرويي تعريف مي شود که به نام نيروي تعميم يافته معروف است. اين کميت که با استفاده از تعريف کار محاسبه مي شود، به اين صورت است که حاصل ضرب آن در مختصه تعميم يافته داراي ابعاد کار است. بنابراين اگر مختصه تعميم يافته داراي بعد فاصله باشد در اين صورت اين کميت از جنس نيرو خواهد بود. در صورتيکه مختصه تعميم يافته از نوع زاويه باشد، در اين صورت اين کميت داراي بعد گشتاور خواهد بود. يعني متناسب با نوع مختصه تصميم يافته مي تواند از جنس نيرو و يا گشتاور نيرو باشد.

 

● معادلات لاگرانژ

 

براي بررسي حرکت يک سيستم در مکانيک لاگرانژي انرژي جبنشي و انرژي پتانسيل سيستم را تعيين مي کنند. اين کار به اين صورت مي گيرد که در مکانيک لاگرانژين در مورد هر سيستم دو کميت جديد به نام هاي لاگرانژين و هاميلتونين تعريف مي شود. لاگرانژين برابر تفاضل انرژي پتانسيل از انرژي جنبشي است. در صورتي که هاميلتون برابر با مجموع انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل سيستم است. در واقع مي توان گفت که کار اصلي تعيين و محاسبه صحيح انرژي جنبشي و پتانسيل است.

 

سپس اين مقادير در معادله اي که به معادله لاگرانژ حرکت معروف است قرار داده مي شود. معادله لاگرانژ ، معادله اي است که بر حسب مشتقات تابع لاگرانژي نسبت به مختصات تعميم يافته و نيز مشتق زماني مشتقات تابع لاگرانژي نسبت به سرعتهاي تعميم يافته نوشته شده است. به عبارت ديگر اگر تابع لاگرانژي را با L نشان دهيم و مختصات تعميم يافته را با qk و سرعت هاي تعميم يافته را با qk (که نقطه بيانگر مشتق زماني مختصه تعميم يافته qk است) نشان دهيم، معادلات لاگرانژ به صورت زير خواهد بود:

DL/dtqk – L/qk=0

در صورتي که نيروهاي موجود در سيستم همگي پايستار نباشند، به عنوان مثال يک نيروي غير پايستار مانند اصطکاک وجود داشته باشد در اين صورت در طرف دوم معادلات لاگرانژ عبارت Qk که بيانگر نيروي تعميم يافته غير پايستار است، نيز اضافه مي شود.

DL/dtqk – L/qk=Qk

 

معادلات لاگرانژ براي تمام مختصات يکسان هستند. اين معادلات ، روش يک نواختي براي بدست آوردن معادلات ديفرانسيل حرکت يک سيستم در انواع سيستم هاي ارائه خواهند داد.

 

● اصل تغييرات هاميلتون

 

روش ديگر براي استنتاج معادلات لاگرانژ اصل تغييرات هاميلتوني است. در اين حالت همانگونه که قبلا نيز اشاره شد در مورد هر سيستم کميتي به نام تابع هاميلتوني تعريف مي شود که برابر با مجموع انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل سيستم است. اين اصل در سال ۱۸۳۴ توسط رياضيدان اپرلندي ويليام .ر. هاميلتون ارائه شد.

 

در اين روش فرض مي شود که يک تابع پتانسيل وجود دارد، يعني سيستم تحت بررسي يک سيستم پاياست. ولي اگر تعدادي از نيروها نيز غير پايستار باشد مانند مورد معادلات لاگرانژ مي توان سهم اين نيرو ها را نيز بطور جداگانه منظور کرد. يعني در اين حالت تابع هاميلتون برابر با مجموع انرژي جنبشي و کار انجام شده توسط تمام نيروها اعم از نيروهاي پايستار و غير پايستار است.

 

● معادلات هاميلتون

 

معدلات هاميلتون از ۲n معادله ديفرانسيل درجه اول تشکيل شده است. اين معادلات بر حسب اندازه حرکت تعميم يافته و مشتقات آن نوشته مي شود. اندازه حرکت تعميم يافته به صورت مشتقات تابع لاگرانژي نسبيت به سرعت تعميم يافته تعريف مي شود. بنابراين اين معادلات زير خواهند بود.

H/qk=Pk

 

در عبارت فوق qk بيانگر سرعت تعميم يافته است و علامت نقطه در بالاي Pk (اندازه حرکت تعميم يافته) بيانگر مشتق زماني است. اگر معادلات هاميلتون را با معادلات لاگرانژي مقيسه کنيم ملاحظه مي شود که تعداد اولين معادلات زياد است. يعني اگر سيستم V با N مختصه يافته مشخص شود، در اين صورت معادلات هاميلتون شامل ۲n معادله ديفرانسيل درجه اول هستند، در صورتيکه معادلات لاگرانژ از n معادله درجه دوم تشکيل شده است. بنابراين کار کردن با معادلات هاميلتون راحتتر است. معمولا در مکانيک کوانتومي و مکانيک کاري از معادلات هاميلتون استفاده مي شود.

H/Pk=qk

 

در عبارت فوق qk بيانگر سرعت تعميم يافته است و علامت نقطه در بالاي Pk (اندازه حرکت تعميم يافته) بيانگر مشتق زماني است. اگر معادلات هاميلتون را با معادلات لاگرانژي مقيسه کنيم ملاحظه مي شود که تعداد اولين معادلات زياد است. يعني اگر سيستم V با N مختصه يافته مشخص شود، در اين صورت معادلات هاميلتون شامل ۲n معادله ديفرانسيل درجه اول هستند، در صورتيکه معادلات لاگرانژ از n معادله درجه دوم تشکيل شده است. بنابراين کار کردن با معادلات هاميلتون راحتتر است. معمولا در مکانيک کوانتومي و مکانيک کاري از معادلات هاميلتون استفاده مي شود.